Деление натурального числа на дробь

Деление обыкновенной дроби на обыкновенную дробь

Известно, что деление является действием, обратным умножению (смотрите связь деления с умножением). То есть, деление предполагает нахождение неизвестного множителя, когда известно произведение и другой множитель. Этот же смысл деления сохраняется и при делении обыкновенных дробей.

Пусть нам нужно разделить обыкновенную дробь a/b на обыкновенную дробь c/d. Иными словами, нам нужно определить такое число, умножение которого на делитель c/d даст делимое a/b. Это число равно произведению (d/c – число, обратное числу c/d). Действительно, свойства умножения позволяют нам записать следующие равенства , из которых следует, что есть частное от деления a/b на c/d.

Обобщив всю приведенную информацию, получаем правило деления обыкновенных дробей: чтобы разделить обыкновенную дробь a/b на дробь c/d нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

С помощью букв озвученное правило умножения обыкновенных дробей записывается так: .

Итак, правило деления обыкновенных дробей сводит деление к умножению. Таким образом, чтобы успешно выполнять деление дробей по этому правилу, надо уметь выполнять умножение обыкновенных дробей.

Рассмотрим примеры деления обыкновенных дробей.

Пример.

Выполните деление дроби 9/7 на дробь 5/3.

Решение.

Числом, обратным делителю 5/3, является дробь 3/5 (смотрите нахождение числа, обратного данному числу). Тогда по правилу деления обыкновенных дробей получаем .

Ответ:

Отметим, что не следует забывать про сокращение дробей и про выделение целой части из неправильной дроби.

Пример.

Проведите деление дробей .

Решение.

Перейдем от деления дробей к умножению: . Сейчас самое время провести сокращение дроби: . Осталось выделитель целую часть из неправильной дроби: . На этом деление обыкновенных дробей закончено.

Ответ:

Разветвление: Уравнения

Решите уравнения:

1)

Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное. То есть .

Делим в столбик. После того как сносим цифру 4 (число десятых – первая цифра после запятой в записи делимого 134,4), в частном ставим запятую и продолжаем деление:

2)

В левой части этого уравнения произведение выражения в скобках на 6. Выражение в скобках выступает как неизвестный сомножитель. Чтобы его найти, необходимо произведение разделить на известный сомножитель:

Делим в столбик:

Следовательно,

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я.. Математика: учеб. для 5 кл. общеобр. учр. – 17-е изд. М.: Мнемозина, 2005.
  2. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5 – 6. – М.: Илекса, 2011. – 106 с.
  3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах.
  4. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5 кл.: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2009.

Домашнее задание

  1. Как разделить десятичную дробь на натуральное число?
  2. Как разделить дробь на 10,100, 1000 и т.д.?
  3. Задачи №1340, №1348 (стр. 210) — Н.Я. Виленкин. Математика: учеб. для 5 кл.
  4. Вычислить

Следующее действие, которое можно выполнять с дробями это деление. Выполнять деление дробей достаточно просто главное знать несколько правил деления. Разберем правила деления и рассмотрим решение примеров на данную тему.

Деление числа на число.

Чтобы поделить простые числа, нужно представить их в виде дроби и выполнить деление по правилам деления дроби на дробь.

Пример:

\(2 \div 5 = \frac{2}{1} \div \color{red} {\frac{5}{1}} = \frac{2}{1} \times \color{red} {\frac{1}{5}} = \frac{2 \times 1}{1 \times 5} = \frac{2}{5}\\\)

Примечание к теме деление дробей:
На нуль делить нельзя.

Вопросы по теме:
Как делить дроби? Как разделить дробь на дробь?
Ответ: дроби делятся так, первую дробь делимое умножаем на дробь обратную дроби делителя.

Как делить дроби с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, все дроби делятся по правилу деления дроби на дробь.

Пример №1:
Выполните деление и назовите делитель, дробь, обратную делителю: а) \(\frac{5}{9} \div \frac{8}{13}\) б) \(2\frac{4}{5} \div 1\frac{7}{8}\)

Решение:
а) \(\frac{5}{9} \div \frac{8}{13} = \frac{5}{9} \times \frac{13}{8} = \frac{65}{72}\\\\\)

\( \frac{8}{13}\) – делитель, \( \frac{13}{8}\) – обратная дробь делителя.

б) \(2\frac{4}{5} \div 1\frac{7}{8} = \frac{14}{5} \div \frac{15}{8} = \frac{14}{5} \times \frac{8}{15} = \frac{14 \times 8}{5 \times 15} = \frac{112}{75} = 1\frac{37}{75}\\\\\)

\( \frac{15}{8}\) – делитель, \( \frac{8}{15}\) – обратная дробь делителя.

Пример №2:
Вычислите деление: а) \(5 \div 1\frac{1}{4}\) б) \(9\frac{2}{3} \div 8\)

Решение:

Деление дробей — тема, которая включает в себя действия с обыкновенными дробями, смешанными числами и десятичными дробями.

Запишем на одной странице все правила, касающиеся деления обыкновенных дробей, смешанных чисел и натуральных чисел.

1. Деление обыкновенных дробей.

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

(то есть первую дробь нужно переписать без изменений и умножить её на «перевёрнутую» вторую дробь).

При умножении дробей проще сокращать множители, чем результат.

Если в результате получается неправильная дробь, нужно выделить из неё целую часть.

Примеры деления обыкновенных дробей:

2. Деление обыкновенной дроби на натуральное число.

Применив правило деления обыкновенных дробей

приходим к выводу:

Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения.

Примеры деления обыкновенной дроби на число:

Заметим, что если числитель дроби делится на число без остатка, при делении можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить тем же:

Стоит ли запоминать ещё одно правило или использовать одно правило для всех случаев — решать вам.

3. Деление натурального числа на дробь.

Применив правило деления обыкновенных дробей

приходим к выводу:

чтобы разделить натуральное число на дробь, надо в числитель записать произведения этого числа и знаменателя, а в знаменатель записать числитель.

Можно запомнить это правило и применять его в дальнейшем. А можно делить число на дробь, применяя для всех случаев деления дробей одно правило. Выбирайте, что для вас удобнее.

Примеры деления натурального числа на дробь:

Здесь можно сделать ещё один вывод:

4. Деление смешанных чисел.

Чтобы разделить смешанные числа (смешанные дроби), надо превратить их в неправильные дроби и разделить по правилу деления обыкновенных дробей:

(эту формулу запоминать не надо. Достаточно знать, как переводить смешанные дроби в неправильные и делить обыкновенные дроби).

Примеры деления смешанных дробей:

Примеры деления смешанного числа и обыкновенной дроби:

В следующий раз рассмотрим все правила, касающиеся деления десятичных дробей.

Деление дроби на натуральное число

  • Яфанова Светлана Ханафовна, заместитель директора по НМР, учитель математики

Разделы: Математика

Тип урока: ОНЗ (открытие новых знаний – по технологии деятельностного метода обучения).

Основные цели:

  1. Вывести приемы деления дроби на натуральное число;
  2. Сформировать способность к выполнению деления дроби на натуральное число;
  3. Повторить и закрепить деление дробей;
  4. Тренировать способность к сокращению дробей, анализу и решению задач.

Оборудование демонстрационный материал:

1. Задания для актуализации знаний:

Сравните выражения:

Эталон:

2. Пробное (индивидуальное) задание.

1. Выполните деление:

а)

б)

2. Выполните деление, не выполняя всю цепочку вычислений: .

Эталоны:

  • При делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.
  • Если числитель делится на натуральное число, то при делении дроби на это число можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить прежним.

Ход урока

I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

Цель этапа:

  1. Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности («надо»);
  2. Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»);
  3. Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу»).

Организация учебного процесса на этапе I.

Здравствуйте! Я рада видеть вас всех на уроке математики. Надеюсь, это взаимно.

Ребята, какие новые знания вы приобрели на прошлом уроке? (Делить дроби).

Верно. Что вам помогает выполнять деление дробей? (Правило, свойства).

Где эти знания нам необходимы? (В примерах, уравнениях, задачах).

Молодцы! Вы хорошо справились с заданиями на прошлом уроке. Хотите и сегодня открыть сами новые знания? (Да).

Тогда – в путь! А девизом урока возьмём высказывание «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!».

II. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.

Цель этапа:

  1. Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания. Зафиксировать эти способы вербально (в речи) и знаково (эталон) и обобщить их;
  2. Организовать актуализацию мыслительных операций и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;
  3. Мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;
  4. Предъявить индивидуальное задание для пробного действия и проанализировать его с целью выявления нового учебного содержания;
  5. Организовать фиксацию образовательной цели и темы урока;
  6. Организовать выполнение пробного действия и фиксацию затруднения;
  7. Организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в выполнении пробного действия или его обоснования.

Организация учебного процесса на этапе II.

Фронтально, с использованием планшетов (индивидуальных досок).

1. Сравните выражения:

(Эти выражения равны)

Что интересного вы заметили? (Числитель и знаменатель делимого, числитель и знаменатель делителя в каждом выражении увеличились в одно и то же число раз. Т.о., делимые и делители в выражениях представлены дробями, равными между собой).

Найдите значение выражения и запишите на планшете. (2)

Как записать это число в виде дроби?

Как вы выполнили действие деления? (Дети проговаривают правило, учитель вывешивает на доску буквенные обозначения)

2. Вычислите и запишите только результаты:

а)

б)

(Ответы:

3. Сложите полученные результаты и запишите ответ. (2)

Как называется число, полученное в задании 3? (Натуральное)

Как вы думаете, сможете ли дробь разделить на натуральное число? (Да, постараемся)

Попробуйте это выполнить.

4. Индивидуальное (пробное) задание.

Выполните деление: (только пример а)

Диалог:

По какому правилу вы выполнили деление? (По правилу деления дроби на дробь)

А теперь разделите дробь на натуральное число более простым способом, не выполняя всю цепочку вычислений: (пример б). Даю вам на это 3 секунды.

У кого не получилось выполнить задание за 3 секунды?

У кого получилось? (Нет таких)

Почему? (Не знаем способа)

Что получили? (Затруднение)

А как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Делить дроби на натуральные числа)

Верно, откройте тетради и запишите тему урока «Деление дроби на натуральное число».

Почему эта тема звучит как новая, ведь вы уже умеете делить дроби? (Нужен новый способ)

Верно. Сегодня установим приём, упрощающий деление дроби на натуральное число.

III. Выявление места и причины затруднения.

Цель этапа:

  1. Организовать восстановление выполненных операций и зафиксировать (вербальную и знаковую) место – шага, операции, где возникло затруднение;
  2. Организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом) и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи такого типа.

Организация учебного процесса на этапе III.

Диалог:

Какое задание вы должны были выполнить? (Разделить дробь на натуральное число, не проделывая всю цепочку вычислений)

Что вызвало у вас затруднение? (Не смогли решить за короткое время быстрым способом)

Какую цель мы ставим перед собой на уроке? (Найти быстрый способ деления дроби на натуральное число)

Что вам поможет? (Уже известное правило деления дробей)

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

  1. Уточнение цели проекта;
  2. Выбор способа (уточнение);
  3. Определение средств (алгоритм);
  4. Построение плана достижения цели.

Организация учебного процесса на этапе IV.

Вернёмся к пробному заданию. Вы сказали, что делили по правилу деления дробей? (Да)

Для этого заменили натуральное число дробью? (Да)

Что дальше сделали? (Умножили дробь на дробь)

Какой шаг (или шаги), на ваш взгляд, можно пропустить?

(На доске открыта цепочка решения:

Проанализируйте и сделайте вывод. (Шаг 1)

Если нет ответа, то подводим через вопросы:

Куда попал натуральный делитель? (В знаменатель)

Числитель изменился при этом? (Нет)

Так какой шаг можно «опустить»? (Шаг 1)

План действий:

  • Умножить знаменатель дроби на натуральное число.
  • Числитель не изменяем.
  • Получаем новую дробь.

V. Реализация построенного проекта.

Цель этапа:

  1. Организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний;
  2. Организовать фиксацию построенного способа действия в речи и знаков (с помощью эталона);
  3. Организовать решение исходной задачи и зафиксировать преодоление затруднения;
  4. Организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе V.

А теперь выполните пробный пример новым способом быстро.

Теперь вы смогли выполнить задание быстро? (Да)

Объясните, как вы это сделали? (Дети проговаривают)

Значит, мы получили новое знание: правило деления дроби на натуральное число.

Молодцы! Проговорите его в парах.

Затем один ученик проговаривает классу. Фиксируем правило-алгоритм словесно и в виде эталона на доске.

Введите теперь буквенные обозначения и запишите формулу для нашего правила.

Ученик записывает на доске, проговаривая правило: при делении дроби на натуральное число можно умножить на это число знаменатель, а числитель оставить прежним.

(Все пишут формулу в тетрадях).

А теперь ещё раз проанализируйте цепочку решения пробного задания, обратив особое внимание на ответ. Что сделали? (Числитель дроби 15 разделили (сократили) на число 3)

Что это за число? (Натуральное, делитель)

Так как еще можно разделить дробь на натуральное число? (Проверить: если числитель дроби делится на это натуральное число, то можно числитель разделить на это число, результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним)

Запишите этот способ в виде формулы. (Ученик записывает на доске проговаривая правило. Все записывают формулу в тетрадях.)

Вернёмся к первому способу. Можно им пользоваться в случае, если a:n? (Да, это общий способ)

А когда второй способ удобно применять? (Когда числитель дроби делится на натуральное число без остатка)

VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

Цель этапа:

  1. Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении типовых задач с их проговариванием во внешней речи (фронтально, в парах или группах).

Организация учебного процесса на этапе VI.

Вычисли новым способом:

  • №363 (а; г) – выполняют у доски, проговаривая правило.
  • №363 (д; е) – в парах с проверкой по образцу.

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа:

  1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на новый способ действия;
  2. Организовать самопроверку на основе сопоставления с эталоном;
  3. По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию усвоения нового способа действия.

Организация учебного процесса на этапе VII.

Вычисли новым способом:

  • №363 (б; в)

Учащиеся проверяют по эталону, отмечают правильность выполнения. Анализируются причины ошибок и ошибки исправляются.

Учитель спрашивает тех учащихся, кто допустил ошибки, в чём причина?

На этом этапе важно, чтобы каждый учащийся самостоятельно проверил свою работу.

VIII. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа:

  1. Организовать выявление границ применения нового знания;
  2. Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

Организация учебного процесса на этапе VIII.

  • №363 (ж; з) – выполняют задание по группам на листах бумаги (для организации дальнейшего обсуждения).
  • №369 – у доски.

Ответ: длина каждой части

Перед решением следующего задания повторить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

  • №377 (7; 8) – у доски проговаривают:

7)

Перед решением задания 8) рассмотреть пример из учебника:

IX. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цель этапа:

  1. Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке;
  2. Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований, известных учащимся;
  3. Организовать оценивание учащимися собственной деятельности на уроке;
  4. Организовать фиксацию неразрешённых затруднений на уроке как направления будущей учебной деятельности;
  5. Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организация учебного процесса на этапе IX.

1. Диалог:

Ребята, какое новое знание вы сегодня открыли? (Научились делить дробь на натуральное число простым способом)

Сформулируйте общий способ. (Говорят)

Каким способом, и в каких случаях можно пользоваться ещё? (Говорят)

В чём преимущество нового способа?

Достигли ли мы поставленной нами цели урока? (Да)

Какие знания вы использовали для достижения цели? (Говорят)

Всё ли у вас получилось?

В чём были затруднения?

Как вы выходили из затруднения?

Оцените себя: насколько для вас эффективно прошёл урок, заполнив карточку («+» в колонке «да» или «нет»).

№п/п Утверждения Да Нет
1. Я смог самостоятельно найти выход из затруднения.
2. Я понял новый способ и буду им пользоваться.
3. В самостоятельной работе у меня всё получилось.
4. Я смогу сам выполнить домашнее задание.

2. Домашнее задание: п.3.2.4.; №365(л, н, о, п); №370.

3. Учитель: я рада, что сегодня все были активны, сумели найти выход из затруднения. А самое главное, не были соседями при открытии нового и его закреплении. Спасибо вам за урок, дети!

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *